Oscillazioni forzate

fig.1
fig.1

In regime di oscillazioni forzate il periodo non dipende dalle costanti del circuito ma dalle caratteristiche della sorgente di alimentazione che può essere in serie (fig.1a) o in parallelo (fig.1b).

Con l'alimentazione in serie tutti gli elementi del circuito sono percorsi dalla stessa corrente, con quella in parallelo sono sottoposti alla stessa tensione.

I due schemi sono la rappresentazione di un medesimo circuito  , sono cioè equivalenti,  purchè L e C siano le stesse del circuito reale  ed Rs ed Rp diano origine alla medesima perdita di energia che si manifesta nello stesso.

 

alimentazione in serie

fig.2
fig.2

In fig.2 è mostrato il diagramma vettoriale del circuito alimentato in serie da cui si ricava:

V2=Rs2I2 + I2(ωL - 1/ωC)2

da cui :

V=I radq(Rs2 + (ωL - 1/ωC)2 );

Zs= V/I= radq(Rs2 + (ωL - 1/ωC)2). 

Dall'espressione dell' Impedenza Zs si ricava che se ωL-1/ωC = 0  allora Z è minima e la corrente è massima , come si nota in fig.3.

fig.3
fig.3

Quindi fissati L e C avrò una corrente massima nel circuito quando ω = ω0

 è tale da soddisfare l'espressione su indicata.

da questa espressione si ricava il valore della frequenza che per quei valori di L e C rende massima la corrente:

f0= 1/2π(radq(LC)).

Siamo nelle condizioni di risonanza quando la tensione ai capi dell'induttanza (ωLI) é uguale e contraria a quella  ai capi del condensatore (I/ωC).

Se dividiamo tale tensione per quella di alimentazione che in risonanza è uguale a RsI otteniamo il coefficiente di risonanza  ε= ω0L/Rs = 1/ω0CRs .

Nella fig.3 è indicata la curva di risonanza del circuito.

Quando l'impedenza è minima la corrente è massima; in condizioni di risonanza l'impedenza Zs è uguale a Rs.

 

 

alimentazione in parallelo

fig.4
fig.4

In fig.4 è mostrato il diagramma vettoriale del circuito alimentato in parallelo da cui si ricava:

I2=V2/Rp2+ V2(ωC - 1/ωL)2

da cui :

I=V radq(1/Rp2 + (ωC - 1/ωL)2;

1/Zp= Yp= I/V= radq(1/Rp2 + (ωC - 1/ωL)2.

Dall'espressione dell' ammetenza Yp si ricava che se ωC-1/ωL = 0  allora Yp è minima e la tensione è massima .

fig.5
fig.5

Quindi fissati L e C avrò una tensione  massima nel circuito quando ω = ω0 è tale da soddisfare l'espressione su indicata.

da questa espressione si ricava il valore della frequenza che per quei valori di L e C rende massima la tensione:

f0= 1/2π(radq(LC)) , espressione identica a quella trovata per il circuito alimentato in serie.

  Siamo nelle condizioni di risonanza quando la corrente che attraversa l'induttanza (V/ωL) é uguale e contraria a quella  che attraversa il condensatore (ωCV).

Se dividiamo tale corrente  per quella di alimentazione che in risonanza è uguale a V/Rp otteniamo il coefficiente di risonanza  ε= ω0CRp = Rp0L.

  

Nella fig.5 è indicata la curva di risonanza del circuito.

Quando l' Ammetenza  è minima la tensione è massima; in condizioni di risonanza l'Ammetenza Yp è uguale a 1/Rp.

conclusioni

Nel  caso dell'alimentazione in serie ε= ωL/Rs = 1/ωCRs e  nel caso dell'alimentazione in parallelo ε = ωCRp =Rp/ωL.

Possiamo quindi scrivere : ωCRp=ωL/Rs  oppure 1/ωCRs=Rp/ωL   da cui Rp=(L/C)/Rs che rappresenta l'espressione che lega Rp , Rs, L e C.

Il coefficiente di risonanza ε (oscillazioni forzate)  serve, come il decremento logaritmico δ  (oscillazioni libere) per evidenziare la qualità di un circuito oscillatorio; esisterà pertanto una relazione che lega ε a δ, infatti dall'espressione ε= ωL/Rs, sostituendo ad ω il suo valore 1/radq(LC) si ha:

ε= ωL/Rs =L/Rs radq(LC) = 1/Rs radq(L/C) che risulta uguale a π/δ  dove δ è il decremento logaritmico.