in fig.1 a) sono raffigurati due pendoli accoppiati con un lieve legame elastico .

Se sposto il pendolo 1 nella direzione della freccia verde il pendolo 2 quasi non si muove.

Se lascio andare il pendolo dopo averlo spostato tende a tornare nella posizione originale e trasmette un impulso al pendolo 2 che inizia lentamente ad oscillare.

Col trascorrere del tempo l'oscillazione del pendolo 1 diminuisce e quella del pendolo 2 aumenta quando l'oscillazione del pendolo 1 è quasi nulla quella del pendolo 2 è massima a questo punto il fenomeno si inverte ; cioè le oscillazioni del pendolo 2 diminuiranno e quelle del pendolo 1 riprenderanno a crescere ...insomma il fenomeno è descritto dal diagramma di fig.2

Il continuo trasferimento di energia fra i due pendoli non avviene senza perdite e pertanto l'oscillazione dei due risulta smorzata.

Lo stesso fenomeno si presenta nei circuiti oscillatori accoppiati dove il primario di fig.1 b) corrisponde al primo pendolo di fig.1 a) ed il secondario di fig.1 b) corrisponde al secondo pendolo di fig.1a).

Se prendiamo in considerazione il circuito di fig.1 b) e carichiamo il condensatore C₁  perché possano iniziare le oscillazioni, possiamo scrivere:

L₁di₁/dt +Mdi₂/dt + R₁i₁ +v₁ =0

 

L₂di₂/dt +Mdi₁/dt + R₂i₂ +v₂ =0

 

 

dove  v₁  e v₂ sono le d.d.p. istantanee agli estremi di C1 e C2.

Derivando rispetto al tempo si ottengono le seguenti  equazioni differenziali :

 

L₁d²i₁/dt²+Md²i₂/dt² + R₁di₁/dt +dv₁/dt =0

 

L₂d²i₂/dt² +Md²i₁/dt² + R₂di₂/dt +dv₂/dt =0

 

Poichè dv/dt = i/C   Le equazioni diventano :

 

 L₁d²i₁/dt²+Md²i₂/dt² + R₁di₁/dt +i₁/C₁ =0

 

 

 L₂d²i₂/dt² +Md²i₁/dt² + R₂di₂/dt +i₂/C₂ =0

 

 

Sono due equazioni differenziali nelle incognite  i1 e i2

La risoluzione di queste due equazioni è alquanto incasinata ed allora la semplifichiamo ponendo R1 = R2 = 0 (condizione ideale) e supponendo che la pulsazione dei due circuiti isolati sia la medesima  ω1 = ω2 = ω0

 

In questo caso sarà  ω₀² = 1/ L₁ C₁ = 1/ L₂ C₂ 

 

Le due equazioni diventano allora :

 

d²i₁/dt²+(M/ L₁)d²i₂/dt² +ω₀² i₁ =0

 

 d²i₂/dt²+(M/ L₂)d²i₁/dt² +ω₀² _i2 =0

 Dopo vari casini vien fuori che la risoluzione di queste equazioni è la seguente:

 

(vedi  RADIOTECNICA del Prof. G.DILDA VOL.Primo)

 

i₁ = I₁ ( senω't + senω''t )

i₂ = -i₁ √ (L₁ /L₂) ( senω't - senω''t )

 

dove: I₁ è una costante dipendente dalle condizioni iniziali e 

ω' = ω₀ /√(1-k);
ω'' = ω₀ /√(1+k)

 dove  K = M/√(L₁ /L₂)  è il coefficiente di accoppiamento.

Nell fig.3 è rappresentata l'oscillazione nel primario (fig.3 c ) e quella nel secondario (fig. 3d)

le oscillazioni sono simili a quelle del pendolo di fig.2 con la differenze che in quelle è presente lo smorzamento in queste non è presente tenuto conto del fatto che lo studio è stato condotto su un circuito ideale, cioè senza perdite energetiche.

Le ampiezze delle correnti del primario e del secondario, variano in opposizione; quando una è massima l'altra è minima.

La frequenza con cui si verificano tali variazioni di ampiezza è pari a f ' - f ''  ; (f '= ω'/2π ; f ''= ω''/2π).

Questo fenomeno che si verifica in presenza di due correnti sinusoidali di frequenze di poco diverse è il fenomeno dei battimenti.

Nel caso di un circuito reale, quando cioè R₁ d R₂ sono diverse da zero l'andamento delle correnti è quello di fig.2 solo quando risulta : _Ctrasf. = ω²M²/R₂ R₁ >> 1  si verificano i battimenti smorzati; C_trasf. è il coefficiente di trasferimento.

Quando invece  risulta C_trasf. <<1 le oscillazioni del primario risultano indipendenti da quelle del secondario e sono pertanto oscillazioni semplici smorzate in queste condizioni anche nel secondario si hanno oscillazioni semplici smorzate che hanno però una ampiezza molto minore., la frequenza invece  risulta uguale .

Tutto ciò nel caso che ω₁ = ω₂ = ω₀   se invece ω₁ ≠ ω₂ basta una piccola differenza perché l'influenza reciproca dei due circuiti diminuisca rapidamente;  perciò in questo caso anche con accoppiamenti molto stretti si hanno nel primario e nel secondario oscillazioni semplici smorzate. 

Se nel circuito di fig. 4 inseriamo i condensatori C₁ e C₂ i fig.5 otteniamo due circuiti oscillatori accoppiati.

Tutte le considerazioni fatte relativamente al circuito di fig.4 rimangono inalterate  dove al posto di ωL si pone :

X=ωL-1/ ωC 

L'impedenza del primario sarà: :

Z₁ =√( (R₁+R₂)² +(X₁ -X₂n²)² )

la corrente del primario sarà:
I₁ =V₁/Z₁;

la corrente del secondario sarà: 

I₂ = n I₁

Il problema può essere risolto considerando il circuito equivalente di fig.6. che è costituito da un generatore V₁ avente:

Resistenza interna  R₁

reattanza interna X₁

chiuso sulla:

resistenza esterna n²R₂ 

e sulla :

reattanza esterna -n²X₂ 

Occorre rendere massima la potenza assorbita da n²R₂  ; ciò è reso possibile quando la resistenza esterna è uguale a quella interna del generatore e quando la reattanza totale è nulla.; espresso in formule   :

 

n ² R ₂  =  R ₁   ;    X ₁ = n ² X ₂

 

da queste formule risulta:

X ₁ / X ₂  =  R ₁ / R ₂  =  n ²

 

per soddisfare questa eguaglianza di solito si pone :

 

L₁/L₂ =C₂/C₁ =R₁/R₂= n² che significa che i due circuiti presi isolatamente sono accordati sulla stessa frequenza cioè:  ω₁ = ω₂ 

supposta soddisfatta questa condizione la condizione di massimo  è:

 

n²R₂ = R₁  oppure    X₁=n²X₂

 

Prendiamo in considerazione la prima delle due; possiamo scrivere:

 

n ² R ₂  =  R ₁  =  R ₂ (  ω M /  Z ₂ ) ² = 

= R ₂ (  ω ² M ² /  ( R ₂ ²   + X ₂ ² );

 

da questa espressione si ricava

X =± √(R₂/R₁( ω²M² -R₂ R₁ ));

 

per ω²M² > R₂ R₁  abbiamo due soluzioni reali;

 

per ω²M² = R₂ R ₁  abbiamo una soluzione;

 

per ω²M² < R₂ R ₁  abbiamo due soluzioni immaginarie

 

quindi per  ω²M² = R₂R ₁ abbiamo un massimo cui corrisponde l'accoppiamento critico K_c infatti ricordando che M=K √ L₁L₂ possiamo scrivere:

 

ω ²  K _c ²  L ₁ L ₂   =  R ₂ R _1;

 

K _c ²    =  R ₂ R _1 / ω ² L ₁ L ₂  = 

= ( R ₁ /  ω L ₁ ) ( R ₂  /  ω L ₂ ) =  1 / Q ₁ Q ₂ 

 

e quindi K_c=  1/√(Q₁Q₂) se i coefficienti di sovratensione sono uguali cioè se :

 

Q ₁  = Q ₂  = Q (i coeff. di sovratensione coincidono coi fattori di merito delle bobine)

 

risulta :

 

K _c =   1 / Q

 

 Nella fig.7 è riportato l'andamento della corrente (circuito serie) o della tensione (circuito parallelo) nel primario e nel secondario per diversi valori del coefficiente di accoppiamento K.