TEOREMA DI FOURIER

FOURIER
Fourier.xls
Tabella Microsoft Excel 8.0 MB

Un funzione f(t)  periodica del tempo , avente frequenza f può essere scomposta nella somma di un termine costante  A0 e di infiniti termini sinusoidali di ampiezza opportuna e frequenza uguale e multipla della f data.

Possiamo cioè scrivere:

f(t) =   A0 + C1  cosωt + C2 cos2ωt +-------+Cn cos nωt +S1 senωt + +S2sen2ω+-------+Sncos nωt ; 

dove :

A0 è uguale a 1/T∫0T f(t)dt ;

Cn  = 2/T∫0T f(t)cos nωtdt ;

Sn  = 2/T∫0T f(t)sen nωtdt .

Gli addendi della serie sono costituiti da un termine costante, da un primo termine sinusoidale che rappresenta l'armonica fondamentale e da un infinito numero di armoniche la cui ampiezza va decresendo man mano che la frequenza va aumentando.

Lo sviluppo in serie di Fourier è molto utile perchè consente di rappresentare forme d'onda periodiche di forma qualsiasi  come somma di un termine costante più dei termini sinusoidali.

Per rappresentare una funzione non è necessario prendere in considerazione oltre alla componente continua tutti gli infiniti termini ma è sufficiente prendere in considerazion oltre  alla componente continua ed alla arminica fondamentale solo quelle armoniche successive la cui ampiezza risulta apprezzabile rispetto alla fondamentale.

Si intuisce che se una forma d'onda è simile ad una sinusoide avrà  poche armoniche di valore apprezzabile rispetto alla fondamentale viceversa ne avrà molte se la sua forma si discosta dalla sinusoide.

Al limite una forma d'onda uguale ad una sinusoide pura nello sviluppo in serie non avrà altre armoniche oltre alla fondamentale.

Occorre ricordare che :

  • se f(t) = f(-t) (funzione pari) nello sviluppo si annullano i termini sinusoidali e quindi anche i coefficienti  Sn e quindi : f(t) pari = A0 + C1  cosωt +-------+Cn cos nωt :
  • se f(t) = -f(-t) (funzione dispari) ) nello sviluppo si annullano i termini cosinusoidali e quindi anche i coefficienti  Cn e quindi :  f(t) dispari S1  senωt +-------+Snsen nωt .