passiamo alla dimostrazione:

posso scrivere:

e^Jx = 1 + Jx + (Jx)²/2! + (Jx)³/3! + (Jx)⁴/4! + (Jx)⁵/5!+ (Jx)⁶/6! +  .............=

= 1 + Jx -x²/2! -Jx³/3! +x⁴/4! +Jx⁵/5! - x⁶/6! =

= (1  -x²/2! + x⁴/4!  - x⁶/6!........) +  J(x -x³/3! +x⁵/5! ....)

Osserviamo che il primo termine è lo sviluppo in serie di cosx  e che il secondo termine diviso J è lo sviluppo in serie di senx; allora otteniamo : 

e^Jx = cosx + Jsenx   cvd.

Ora possiamo scrivere :

e^-Jx = cos(-x) + Jsen(-x)   = cosx - Jsenx

se sommiamo  e sottraiamo  fra loro  e^Jx  e  e^-Jx  risulta:

e^Jx + e^-Jx   =  cosx + Jsenx  + cosx - Jsenx  da cui:

cosx = (e^Jx + e^-Jx )/2 ;

e^Jx - e^-Jx   =  cosx + Jsenx  - cosx + Jsenx  da cui:

senx = (e^Jx - e^-Jx )/2J ;

L'identità di EULERO   e^πJ  + 1 = 0  mette in relazione   0. 1, e, π, J.

Per ottenere l' identità basta porre nell'equazione :

 e^Jx = cosx + Jsenx   ,    X = π  e  otteniamo:

e^πJ = cosπ + Jsenπ  = -1 + 0 ;     e^πJ  + 1 = 0  ;