Formula di EULERO

La formula di EULERO è :

e = cosφ + Jsenφ

 

Si può dimostrare la  formula di Eulero passando attraverso lo sviluppo in serie di TAYLOR-MC LAURIN.

Lo sviluppo in serie di TAYLOR-MCLAURIN di una funzione permette di esprimerla in un punto come un polinomio di infiniti termini.

Dimostrare come si arriva allo sviluppo in serie è un casino infinito ed allora prendiamo per oro colato , per esempio,  che  lo sviluppo in serie di   e , cosx , senx.  sia :

 

e= 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! ..............................................

..

cosx = 1-x2/2! + x4/4! - x6/6! + x8/8!...........................................

 

senx= x - x3/3! + x5/5! - x7/7!...............................................

passiamo alla dimostrazione:

posso scrivere:

eJx = 1 + Jx + (Jx)2/2! + (Jx)3/3! + (Jx)4/4! + (Jx)5/5!+ (Jx)6/6! +  .............=

 

= 1 + Jx -x2/2! -Jx3/3! +x4/4! +.Jx5./5! - x6/6! =

 

= (1  -x2/2! + x4/4!  x6/6!........) +  J(-x3/3! +.x5./5! ....)

 

Osserviamo che il primo termine è lo sviluppo in serie di cosx  e che il secondo termine diviso J è lo sviluppo in serie di senx; allora otteniamo : 

 

eJx = cosx + Jsenx   cvd.

 

Ora possiamo scrivere :

 

e-Jx = cos(-x) + Jsen(-x)   = cosx - Jsenx

 

se sommiamo  e sottraiamo  fra loro  eJx  e  e-Jx  risulta:

 

eJx + e-Jx    cosx + Jsenx  + cosx - Jsenx  da cui:

 

cosx = (eJx + e-Jx )/2 ;

 

 

eJx - e-Jx    cosx + Jsenx  - cosx + Jsenx  da cui:

 

senx = (eJx - e-Jx )/2J ;

 

 

 

identità di EULERO

L'identità di EULERO   eπJ  + 1 = 0  mette in relazione   0. 1, e, π, J.

Per ottenere l' identità basta porre nell'equazione  eJx = cosx + Jsenx      X = π  e  otteniamo:

 

eπJ = cosπ + Jsenπ  = -1 + 0 ;     eπJ  + 1 = 0  ;