I filtri

fig.1
fig.1

Un filtro è un quadripolo nel quale il segnale in uscita ha valore apprezzabile rispetto a quello d'ingresso solo in corrsipondenza di determinati valori della frequenza.

Convenzionalmente si è stabilito di considerare di valore ancora apprezzabile un segnale in uscita che abbia un valore pari al segnale di ingresso fratto radice quadrata di due; in corrispondenza di tale valore si individua la frequenza di taglio.

In funzione del loro comportamento i filtri vengono distinti in tre famiglie:

 

  • filtro passa alto;
  • filtro passa banda;
  • filtro passa basso.

Nella fig.1 sono riportate le tre tipologie di filtro.

Nel filtro passa alto fino alla frequenza di taglio ft il segnale V out ha una tensione inferiore a V1/radQ(2) e quindi non passa, oltre la frequenza ft il segnale in uscita assume un valore uguale o superiore a V1/radQ(2) e quindi passa.

Nel filtro passa basso  il segnale in uscita passa finchè ha una frequenza inferione a ft, fino a tale frequenza infatti il suo valore si mantioene non inferiore a V1/radQ(2) , superata la frequenza ft il valore di Vout diventa inferiore a V1/radQ(2) e quindi non passa.

Nel filtro passa banda il segnale passa finchè la sua frequenza si mantiene fra ft1 (frequenza di taglio inferiore)  ed ft2 (frequenza di taglio superiore), in questo intervallo infatti il suo valore si mantiene uguale o superiore a V1/radQ(2).

Il valore V1/radQ(2) corrisponde ad un affievolimento del segnale di -3 db infatti 

20 x log (1/radQ(2)) = -3.

 

Modelli circuitali

Filtri LC -passa alto-

fig.2
fig.2

I filtri sono raggruppati in ordini In relazione al numero di elementi che li compongono (vedi fig.2).

Nel filtro di primo ordine, dopo la frequenza di taglio cui corrisponde una attenuazione del segnale di uscita di -3db  si ha una pendenza di attenuazione di 6db/ottava.

In tale filtro data la ft voluta si ottiene il valore di C dalla formula:

C1=(1/2πft) x (1/Z) x 106  (μF)

dove Z è l'impedenza del carico.

Nel filtro di secondo ordine dopo la frequenza di taglio cui corrisponde una attenuazione del segnale di uscita di -3db  si ha una pendenza di attenuazione di 12 db/ottava.

In tale filtro data la ft voluta si ottengono i valori di C e di L dalle formule:

C1=(1/2πft) x (1/Z radQ(2)) x 106  (μF);

L1=(1/2πft) x (Z radQ(2)) x 103 (mH),

dove Z è l'impedenza del carico.

Nel filtro di terzo ordine dopo la frequenza di taglio cui corrisponde una attenuazione del segnale di uscita di -3db  si ha una pendenza di attenuazione di 18 db/ottava.

In tale filtro data la ft voluta si ottengono i valori di C e di L dalle formule:

C1=(1/2πft) x (2/Z3) x 106  (μF);

L1=(1/2πft) x (3Z/4) x 103 (mH),

C2=(1/2πft) x (2/Z ) x 106  (μF);

dove Z è l'impedenza del carico.

Nel filtro di quarto ordine dopo la frequenza di taglio cui corrisponde una attenuazione del segnale di uscita di -3db  si ha una pendenza di attenuazione di 24 db/ottava.

In tale filtro data la ftvoluta si ottengono i valori di C e di L dalle formule:

C1=(1/2πft) x (1/Z1,53) x 106 (μF);

L1=(1/2πft) x (Z1,53/2,41) x 103 (mH),

C2=(1/2πft) x (2,41/Z 2,61) x 106  (μF);

L2=(1/2πft) x (2,61Z) x 103 (mH)

dove Z è l'impedenza del carico.

Filtri LC -passa basso-

fig.3
fig.3

I filtri sono raggruppati in ordini In relazione al numero di elementi che li compongono (vedi fig. 3 ).

Nel filtro di primo ordine, dopo la frequenza di taglio cui corrisponde una attenuazione del segnale di uscita di -3db  si ha una pendenza di attenuazione di 6db/ottava.

In tale filtro data la ft voluta si ottiene il valore di C dalla formula:

L1=(1/2πft) x Z x 103  (mH)

dove Z è l'impedenza del carico.

Nel filtro di secondo ordine dopo la frequenza di taglio cui corrisponde una attenuazione del segnale di uscita di -3db  si ha una pendenza di attenuazione di 12 db/ottava.

In tale filtro data la ft voluta si ottengono i valori di C e di L dalle formule:

L1=(1/2πft) x (Z radQ(2)) x 103 (mH),

C1=(1/2πft) x (1/Z radQ(2)) x 106   (μF);

dove Z è l'impedenza del carico.

Nel filtro di terzo ordine dopo la frequenza di taglio cui corrisponde una attenuazione del segnale di uscita di -3db  si ha una pendenza di attenuazione di 18 db/ottava.

In tale filtro data la ft voluta si ottengono i valori di C e di L dalle formule:

L1=(1/2πft) x (3Z/ 2) x 103  (mH);

C1=(1/2πft) x (4/3Z) x 106 (μF),

L2=(1/2πft) x (Z/ 2) x 103  (mH);

dove Z è l'impedenza del carico.

Nel filtro di quarto ordine dopo la frequenza di taglio cui corrisponde una attenuazione del segnale di uscita di -3db  si ha una pendenza di attenuazione di 24 db/ottava.

In tale filtro data la ft voluta si ottengono i valori di C e di L dalle formule:

L1=(1/2πft) x (Z1,53) x 103 (mH),

C1=(1/2πft) x (2,41/Z1,53) x 106   (μF);

L2=(1/2πft) x (2,61Z/2,41) x 103 (mH)

C2=(1/2πft) x (1/Z 2,61) x 106  (μF);

dove Z è l'impedenza del carico.

Altri filtri

fig.4
fig.4

Prendiamo in esame il filtro passa alto R1, L1 , possiamo scrivere:

Vin = I(R1+JωL1)    e   Vout= IJωL1 da cui

I = Vout/JωL1; sostituendo nella  prima equazione otteniamo:

Vin = (Vout/JωL1)(R1+JωL1) = Vout(R1/JωL1 +1 ); 

l'attenuazione  A è:  A= Vout/Vin  = 1/(R1/JωL1 +1);

ponendo l'attenuazionwe pari a 1/radQ(2) abbiamo:

|A| = 1/ radQ((R12/ω2L2) +1)= 1/radQ(2)  quindi

((R12/ω2L12) =1 ; R1/ωL1 =1;  W =2πf = R1/L1; f=R1/2πL1.

f è la frequenza di taglio.

Prendiamo  ora in esame il filtro passa alto C1,R1 , possiamo scrivere:

Vin = I(R1+ 1/JωC1)    e   Vout= IR1 da cui

I = Vout/R1; sostituendo nella  prima equazione otteniamo:

Vin = (Vout/R1)(R1+1/JωC1) = Vout(1/JωR1C1 +1 );

l'attenuazione  A è:  A= Vout/Vin  = 1/(1/JωR1C1 +1 );

ponendo l'attenuazionwe pari a 1/radQ(2) abbiamo:

|A| = 1/radQ(1/ω2R12C12 +1 )= 1/radQ(2)  quindi

1/ω2R12C12 =1  ; ωR1C1 =1 ;  W =2πf = f = 1/ 2πR1C1

f è la frequenza di taglio.

fig.5
fig.5

Utilizzando lo stesso procedimento otteniamo la frequenza di taglio del filtro R1C1f =1/2πR1C

e del filtro L1R1 : f = R1/2πL1