Fattore di merito o coefficiente di qualita'

di un circuito risonante RLC serie

Dato un circuito risonante serie  chiamiamo Em l'energia massima che il circuito può immagazzinare e Ed l'energia dissipata in un periodo, si definisce Fattore di merito, e si indica con Q, il l'espressione 2πEm/Ed.

Sappiamo che Em = 1/2(LI2)

per quanto riguarda l'energia dissipata in un ciclo l'unico elemento che dissipa energia è la resistenza R .

La potenza dissipata dalla R è : P=RI2  dove I(t)  = I sen(ωt)  e quindi:

P(t) = RI2 = RI2 sen2(ωt) ; L'energia dissipata nel periodo To sarà: 

Ed =∫0T0P(t) dt  =  ∫0T0 RI2 sen2(wt) dt = RITo/2 = Ed = RI π/ω0

da quanto precede  si ha:

Q= 2πEm/E=2π (1/2(LI2)/( RI2 π/ω0) = ω0L/R.

Ricordando che ω= 1/radq(LC) si ha : Q = 1/RCω0

Quindi il fattore di merito è:

Q = ω0L/R = 1/RCω0

Sostituendo a  ωl'espressione "1/radq(LC)" si ha : Q= 1/R(radq(L/C)).

ricapitolando per un circuito risonante serie si ha:

 

Q=ω0L/R =  1/RCω= 1/R(radq(L/C))  

 

di un circuito risonante RCL parallelo

Facendo gli stessi ragionamenti fatti per il circuito serie possiamo scrivere:

Q = ω0CR = R/ω0L  e ricordando che ω0= 1/radq(LC) si ottiene :

Q= Rradq(C/L).

ricapitolando per un circuito risonante parallelo si ha:

 

Q = ω0CR = R/ω0L = Rradq(C/L) 

calcolo fattore di merito
mecmec.xls
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calcolo di Q partendo dalla curva di risonanza

fig.1
fig.1

In fig.1 è rappresentata la curva di risonanza di un circuito serie; come si nota in figura la corrente varia con la frequenza e raggiunge il suo massimo per f= f0 dove f0 è la frequenza di risonanza.

il tratto B rappresenta la larghezza di banda che altro non è che un intervallo di frequenze che ha come centro la  f0; al suo 'interno  la ricezione e ancora accettabile e non scende rispetto sl centro banda  più di 3 db.

Cosa significa, 

Significa che se la stazione che voglio sintonizzare ha una frequenza di fo, posso sentire questa stazione abbasdtanza bene finchè la frequenza effettiva rimane all'interno di B,  la dimensione di B è tale che ai suoi estremi la corrente è pari a  I0/radq(2)., (vedi fig.1)

In corrispondenza di questo valore di corrente si ha un' attenuazione di 3 db , infatti   20 log (radq(2))= 3.

Si può dimostrare che il fattore di merito Q è pari al rapprto fra  f0 e B cioè

Q=  f0/(f2- f1).

Una caratteristica della curva di risonanza è che la pulsazione di risonanza è media proporzionale fra due pulsazioni per le quali si abbia la stessa corrente 

(per es, in fig.1   ω02= ω1ω2).

Per dimostrare che ω02= ω1ω2  osserviamo che in corrispondenza di ωe ωla corrente è la stessa saranno pertanto uguali anche le rispettive impedenze, cioè:

 (ωL - 1/ ω1C )2 = (ωL - 1/ ω2C )2 ; . (ωL - 1/ ω1C ) = ± (ωL - 1/ ω2C), il segno + fornisce  ω= ω2;  il segno meno fornisce invece:

L (ω1  + ω2) - (ω + ω2 )/ (C ω1 ω) = 0; L (ω + ω2)  (1-  (1/ LCω1 ω) =0;

poichè sappiamo che ω  = 1/radq(LC) e  quindi che 1/LC= ω02

e inoltre che L (ω + ω2) > 0 dovrà essere:

1 - ω02ω2) = 0  da cui   ω02ω2

Vediasmo di dimostrare ora che Q=  f0/(f2- f1) = ω0/ (ω2 - ω1)

Prendiamo in considerazione un circuito risonante serie, (la stessa dimostrazione si può fare per un circuito risonante paralleo)

Sia I0 la corrente in corrispondenza della risonanza ed I la corrente in corrispondenza di una o dell'altra delle due pulsazioni fuori risonanza, (nella dimostrazione condideriamo I1); posso scrivere:

I02/I12 = (R2 + ( ω1L- 1/ ω1C)2)/R2= 1+ ω12L2/R2  ( 1- 1/ ω12LC)2;

poichè  ω02LC=1 si ottiene:

I02/I12  - 1 = ω12L2/R2( 1- ω02/ ω12)2; estraendo la radice quadrata si ha:

±radq((I02/I12)-1) = ω1L/R( 1- ω02/ ω12);

Poichè Q = ω0L/R  e quindi L/R = Q/ωsi ha:

±radq((I02/I12) - 1)= Qω1( 1- ω02/ ω12);

poichè abbiamo dimostrato che ω02ωsi ottiene:

±radq((I02/I12) -1)= Q ( ω1- ω2)/ωe quindi Q= ± radq((I02/I12)-1)( ω0)/(ω1- ω2);

ora se poniamo I1 = I0/radq(2) otteniamo 

Q=( ω0)/(ω1- ω2) e quindi  Q= f0/(f2- f1).