OSCILLAZIONI LIBERE

paragone con oscillazioni di due pendoli accoppiati

fig.1
fig.1

in fig.1 a) sono raffigurati due pendoli accoppiati con un lieve legame elastico .

Se sposto il pendolo 1 nella direzione della freccia verde il pendolo 2 quasi non si muove.

Se lascio andare il pendolo dopo averlo spostato tende a tornare nella posizione originale e trasmette un impulso al pendolo 2 che inizia lentamente ad oscillare.

Col trascorrere del tempo l'oscillazione del pendolo 1 diminuisce e quella del pendolo 2 aumenta quando l'oscillazione del pendolo 1 è quasi nulla quella del pendolo 2 è massima a questo punto il fenomeno si inverte ; cioè le oscillazioni del pendolo 2 diminuiranno e quelle del pendolo 1 riprenderanno a crescere ...insomma il fenomeno è descritto dal diagramma di fig.2

fig.2
fig.2

Il primario rappresenta l'oscillazione del pendolo 1 ed il secondario quella del pendolo 2.

Il continuo trasferimento di energia fra i due pendoli non avviene senza perdite e pertanto l'oscillazione dei due risulta smorzata.

Lo stesso fenomeno si presenta nei circuiti oscillatori accoppiati dove il primario di fig.1b) corrisponde al primo pendolo di fig.1 a) ed il secondario di fig.1 b) corrisponde al secondo pendolo di fig.1a).

Se prendiamo in considerazione il circuito di fig.1 b) e carichiamo il condensatore C1  perché possano iniziare le oscillazioni, possiamo scrivere:


L1di1/dt +Mdi2/dt + R1i1 +v1 =0

 

L2di2/dt +Mdi1/dt + R2i2 +v2 =0

 

 

dove  v1  v2 sono le d.d.p. istantanee agli estremi di C1 e C2

Derivando rispetto al tempo si ottengono le seguenti  equazioni differenziali :

 

L1d2i1/dt2+Md2i2/dt2 + R1di1/dt +dv1/dt =0

 

L2d2i2/dt2 +Md2i1/dt2 + R2di2/dt +dv2/dt =0

 

Poichè dv/dt = i/C   Le equazioni diventano :

 

 L1d2i1/dt2+Md2i2/dt2 + R1di1/dt +i1/C1 =0

 

 

 L2d2i2/dt2 +Md2i1/dt2 + R2di2/dt +i2/C2 =0

 

 

Sono due equazioni differenziali nelle incognite  ie i2

La risoluzione di queste due equazioni è alquanto incasinata ed allora la semplifichiamo ponendo R1 = R2 = 0 (condizione ideale) e supponendo che la pulsazione dei due circuiti isolati sia la medesima  ω1 = ω= ω0

 

In questo caso sarà  ω02 = 1/ L1 C1 = 1/ L2 C2 

 

Le due equazioni diventano allora :

 

d2i1/dt2+(M/ L1)d2i2/dt2 +ω0i=0

 

 

 

d2i2/dt2+(M/ L2)d2i1/dt2 +ω0i2 =0

 

La risoluzione di queste equazioni è la seguente:

 

i= I( senω't + senω'')

i2 = -i1 √ (L1 /L2) ( senω't - senω'')

 

dove: Iè una costante dipendente dalle condizioni iniziali e 

ω' = ω/√(1-k);
ω'' = ω/√(1+k)

 dove  K = M/√(L1 /L2)  è il coefficiente di accoppiamento.

fig.3
fig.3

Nell fig.3 è rappresentata l'oscillazione nel primario (fig.3 c ) e quella nel secondario (fig. 3d)

le oscillazioni sono simili a quelle del pendolo di fig.2 con la differenze che in quelle è presente lo smorzamento in queste non è presente tenuto conto del fatto che lo studio è stato condotto su un circuito ideale, cioè senza perdite energetiche.

Le ampiezze delle correnti del primario e del secondario, variano in opposizione; quando una è massima l'altra è minima.

La frequenza con cui si verificano tali variazioni di ampiezza è pari a f ' - f '' 

Questo fenomeno che si verifica in presenza di due correnti sinusoidali di frequenze di poco diverse è il fenomeno dei battimenti.

Nel caso di un circuito reale, quando cioè R1R2 sono diverse da zero l'andamento delle correnti è quello di fig.2 solo quando il coefficiente di trasferimento :

Ctrasf. ω2M2/R2 R>> 1 solo in questo caso si verificano i battimenti smorzati.

Quando invece  Ctrasf.q <<1 se oscillazioni del primario risultano indipendenti da quelle del secondario e sono pertanto oscillazioni semplici smorzate , anche nel secondario si hanno oscillazioni semplici smorzate ma hanno una ampiezza molto minore., la frequenza invece  risulta uguale .

Tutto ciò nel caso che ω1 = ω= ω0   se invece ω1 ≠ ωbasta una piccola differenza perché l'influenza reciproca dei due circuiti diminuisca rapidamente;  perciò in questo caso anche con accoppiamenti molto stretti si hanno nel primario e nel secondario oscillazioni semplici smorzate. 

OSCILLAZIONI FORZATE

trasformatore

Prendiamo in considerazione i circuiti accoppiati di fig.4.

Non si tratta di circuiti oscillanti; mancano i due condensatori.

Il primario sia alimentato in serie da un generatore di tensione  V1 che fa nascere una corrente i1= I1senωt.

La f.e.m. indotta nel secondario sarà:

 

e=-Mdi1/dt =-ωMI1cosωt=

 

=-E2cosωt.

 

si ricava  EωMI1

 

Per studiare il circuito ci serviamo del grafico vettoriale di fig.4.

La corrente I2 è in ritardo di π/2 rispetto alla tensione  E2 ; α è lo sfasamento

fig.4
fig.4

Vediamo di calcolare  a.

Sappiamo che l' impedenza del secondario è :

Z2  =√( R2 2+ ω2L2 2e quindi 


tagα = (ωL2 / R2 ) ; cosα = R2 / Z2 ; senα = ωL2Z2

Nel diagramma vettoriale  vediamo che il segmento OB rappresenta la tensione nel primario V1 senza l'influenza del secondario ; quando l'influenza del secondario si fa sentire la tensione Vè rappresentata dal vettore OC in questa situazione la componente resistiva  R1 I1  è incrementata del valore BC  x cosa che è pari a :

 

ωMI2R2 / Z= ωME2 R2Z2 2

 

ricordando che  EωMI1 sostituendo si ha::

 

ωM ωMI1 R2Z2 ω2M2I1R2Z2 2

 

 

allora la componente resistiva, tenendo conto dell' influenza del secondario,  è:

OC' =  R1I1 + ω2M2I1R2Z2  =  I1   (R1 + ω2M2R2/ Z2 2  )

  

 

vediamo ora la componente induttiva della tensione del primario.

senza l' influenza del secondario è rappresentata dal vettore AB = ωL1I1

con l' influenza del secondario è rappresentata dal vettore AC'' = AB-C''B; 


C''B= BC sena = ωM(E2/ Z2)ωL2/Z2


ricordando che  EωMI1 sostituendo si ha::


C''B= ωL2 ω2MI/ Z2 


da questi ragionamenti consegue:


AC'' = AB-C''B = ωL1IωL2 ω2MI/ Z2 =


AC'' ωI(L1 -  ω2ML2 / Z2 )

Risulta quindi che, con l'influenza del secondario la tensione del primario rappresentata dal vettore OC ha una componente resistiva pari a:


OC'  =  I1   (R1 + ω2M2R2/ Z2 2  )


ed una componente induttiva pari a :


AC'' ωI1 (L1 -  ω2M2 L2 / Z2 )

Nel primo caso notiamo un incremento della caduta omica e nel secondo una diminuzione di quella induttiva; i termini  :

 

R21 = ω2M2R2/ Z2 

 

L21 = ω2M2 L2 / Z2 

 

si chiamano :

 

il primo : resistenza della bobina secondaria riportata nella primaria;

il secondo : induttanza  della bobina secondaria riportata nella primaria;

se poniamo  ωM/ Z2  = n 

le espressioni di sopra diventano:

 

R21 = n2R2

 

L21 = n2 L2 

n è il rapporto di trasformazione del trasformatore ( il nostro circuito è un trasformatore) infatti V1/V2=I2/I1=R1I1/R2I2=n = (R1/R2)/n ; R1/R2= n2

 

circuiti oscillatori accoppiati

fig.5
fig.5

Se nel circuito di fig. 4 inseriamo i condensatori C1 e C2 i fig.5 otteniamo due circuiti oscillatori accooppiati.

Tutte le considerazioni fatte relativamente al circuito di fig.4 rimangono inalterate  dove al posto di ωL si pone :

X=ωL-1/ ωC 

L'impedenza del primario sarà: :

Z1 =√( (R1+R2)2 +(X1 -X2n2)2 )

la corrente del primario sarà:
I1 =V1/Z1;

la corrente del secondario sarà: 

I2 = n I1

i circuiti di fig.5 sono uguali quelli utilizzati per le medie frequenze nelle supereterodine.

Ciò che importa per le medie frequenze è stabilire quali sono le condizioni per rendere massima la corrente nel circuito secondario e quindi anche la potenza trasferita.

fig.6
fig.6

Il problema può essere risolto considerando il circuito equivalente di fig.6. che è costituito da un generatore V1 avente:

Resistenza interna  R1

reattanza interna X1

chiuso sulla:

resistenza esterna n2R2 

e sulla :

reattanza esterna -n2X2 

Occorre rendere massima la potenza assorbita da n2R2  ; ciò è reso possibile quando la resistenza esterna è uguale a quella interna del generatore e quando la reattanza totale è nulla.; espresso in formule   :

 

n 2 R 2  R 1   ;    X 1 = n 2 X 2

 

da queste formule risulta:

X 1 / X R 1 / R n 2

 

per soddisfare questa eguaglianza di solito si pone :

 

L1/L=C2/C=R1/R2nche significa che i due circuiti presi isolatamente sono accordati sulla stessa frequenza cioè : ω1 = ω2 

supposta soddisfatta questa condizione la condizione di massimo  è:

 

n2R2 R1  oppure    X1=n2X2

 

Prendiamo in considerazione la prima delle due; possiamo scrivere:

 

n 2 R 2  R R 2 ω M /  Z 2 ) 2 R 2 ω 2 M 2 /  ( R 2 2   + X 2 2 );

 

da questa espressione si ricava X =± √(R2/R1ω2M2 -R2 R1 ));

 

per ω2M2 > R2 R1  abbiamo due soluzioni reali;

 

per ω2M2 = R2 R1  abbiamo una soluzione;

 

per ω2M2 < R2 R1  abbiamo due soluzioni immaginarie

 

quindi per  ω2M2 = R2 Rabbiamo un massimo cui corrisponde l'accoppiamento critico Kc infatti ricordando che M=K  L1L2 possiamo scrivere:

 

ω K c 2  L 1 L 2   =  R 2  R 1;

 

K c 2    =  R 2  R 1 / ω 2 L 1 L 2   ( R /  ω L 1 ) ( R /  ω L 2 ) =  1 / Q 1 Q

 

e quindi Kc 1/√(Q1Q2se i coefficienti di sovratensione sono uguali cioè se :

 

Q = Q = Q (i coeff. di sovratensione coincidono coi fattori di merito delle bobine)


risulta :

 

K c  1 / Q

 

fig.7
fig.7

 Nella fig.7 è riportato l'andamento della corrente (circuito serie) o della tensione (circuito parallelo) nel primario e nel secondario per diversi valori del coefficiente di accoppiamento K.