fig.1

In figura 1 è rappresentato un circuito costituito da un generatore f, un condensatore C, una resistenza R ed un interrutore T.

Supponiamo che il circuito sia aperto ed il condensatore scarico; quando chiudiamo il circuito agendo sull'interrutore inizia a circolare la corrente  ed il condensatore inizia a caricarsi.

all'inizio (t=0) abbiamo V(t)=0 e Q(t)=0 dove V è la tensione e Q la carica.

Alla chiusura del circuito, nel tempo dt la carica dQ va dal generatore al condensatore generando una corrente i = dQ/dt che attraverserà anche la resistenza R.

Per la legge di Ohm posso scrivere :

f-V(t) = i . R dove f è la forza elettromotrice fornita dal generatore.

Sapendo che V(t) .C = Q(t) posso riscrivere la legge di Ohm in questo modo:

f- Q(t)/C = R.dQ/dt, da cui dt = RC.dQ/(fC-Q); per integrare questa espressione è necessario effettuare un cambiamento di variabile, x = fc - Q da cui si ricava dQ=-dx .

Effettuando il cambiamento di variabile otteniamo:

dt = -RCdx/x; integrando abbiamo: -1/RC ∫₀^t dt = ∫₀^t dx/x = ln x(t)/x(0) = -1/RC;

x(t) = x(0) .e ^-t/RC da cui fC - Q(t) = fC.e ^-t/RC , da questa espressione ricavo l'equazione della carica del condensatore:

Q(t) = fC . (1-e^-t/RC ) = fC . (1-e^-t/τ )

dove τ è la costante di tempo.

Dividendo per C l'espressione di Q(t) ottengo l'equazione del potenziale:

V(t) = f . (1-e^-t/τ ) ; l'equazione della corrente è invece:

i(t) = dQ/dt = f/R . e^-t/τ.

fig.2

Nella fig.2 è rappresentata la variazione col tempo della tensione e della corrente.

Si nota che già per un tempo pari a 5τ la tensione raggiunge quasi il valore massimo (f) e la corrente il valore minimo (0).

L'energia accumulata dal condensatore è pari a :

Uc(t) = Q(t)²/2C = f²C/2 . ( 1-e^-t/RC )² ; per t = ∞ Uc( ∞ ) = f²C; l'energia dissipata dalla resistenza R è:

Ud(t) = ∫₀^t R. I(t)²dt = R ∫₀^t f²/R²e^-2t/RCdt = f²C/2(1-e^{-2t/RC )}; per t = ∞ Ud( ∞ ) = f²C

le due energie sono uguali, questo ci dice che l'energia fornita dal generatore è:

Ug(t) = ∫₀^t f.dQ = ∫₀^t fi(t) dt = f²C(1-e^-t/RC) pertanto per t = ∞ Ug( ∞ ) = f²C.

fig.3

In figura 3 è rappresentato un circuito costituito  un condensatore C, una resistenza R ed un interrutore T.

Supponiamo che il circuito sia aperto ed il condensatore carico; quando chiudiamo il circuito agendo sull'interrutore inizia a circolare la corrente ed il condensatore inizia a scaricarsi.

all'inizio (t=0) abbiamo V(t=0)=V₀e Q(t=0)=CV₀ .

Alla chiusura del circuito avrò : Vc(t)= Q(t)/C ed anche Vr (tensione ai capi di R) =i(t)R.

Nel circuito chiuso ho: Q(t)/C=i(t)R ed anche Q(t)/C - R . dQ/dt=0, da cui:

dt/RC - dQ/Q(t).

Integrando l'equazione differenziale ho:

∫^Q_Q0 dQ(t)/Q(t) = 1/RC ∫₀ ^tdt ;

Osservando che Q₀ > Q posso anche scrivere:

fig.4

∫Q0Q dQ(t)/Q(t) = -1/RC ∫0 tdt risolvendo abbiamo:

 lnQ₀- lnQ(t) = -t/RC da cui Q(t)= Q₀e ^-t/RC.

 Poichè Vc(t)=Q(t)/C avrò che la tensione è pari a:

V(t)=V₀ e ^-t/RC e che la corrente i(t) è:

dQ(t)/dt = V₀C d/dt(e^-t/RC) = i(t) = V₀/R . e ^-t/RC

 L'energia del condensatore per t=0 è pari a Q(0)²/2C, l'energia dissipata dalla resistenza R è:

 ∫ ^∞₀Ri(t)²dt = Q₀²/2C.

L'energia iniziale del condensatore è uguale all'energia dissipata alla fine del processo; cioè tutta l'energia del condensatore viene dissipata per effetto joule.