Carica e scarica di un condensatore

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Il foglio excel contiene i grafici dell'andamento delle tensione e della corrente nelle fasi di carica e scarica in funzione della forza elettromotrice del generatore, del valora della capacità del condensatore e della resistenza R.
di seguito è riportato lo studio analitico dei fenomeni di carica e scarica di un condensatore (fig.1, fig.2, fig.3, e fig.4).
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Tabella Microsoft Excel 1.4 MB

carica di un condensatore

fig.1
fig.1

In figura 1 è rappresentato un circuito costituito da un generatore f, un condensatore C, una resistenza R ed un interrutore T.

Supponiamo che il circuito sia aperto ed il condensatore scarico; quando chiudiamo il circuito agendo sull'interrutore inizia a circolare la corrente  ed il condensatore inizia a caricarsi.

all'inizio (t=0) abbiamo V(t)=0 e Q(t)=0 dove V è la tensione e Q la carica.

Alla chiusura del circuito, nel tempo dt la carica dQ va dal generatore al condensatore generando una corrente i = dQ/dt che attraverserà anche la resistenza R.

Per la legge di Ohm posso scrivere :

f-V(t) = i . R dove f è la forza elettromotrice fornita dal generatore.

Sapendo che V(t) .C = Q(t) posso riscrivere la legge di Ohm in questo modo:

f- Q(t)/C = R.dQ/dt, da cui dt = RC.dQ/(fC-Q); per integrare questa espressione è necessario effettuare un cambiamento di variabile, x = fC - Q da cui si ricava dQ=-dx .

Effettuando il cambiamento di variabile otteniamo:

dt = -RCdx/x; integrando abbiamo: -1/RC ∫0t dt = ∫0t dx/x =

 = ln x(t)/x(0) = -t/RC;

x(t) = x(0) .e -t/RC da cui fC - Q(t) = fC.e -t/RC , da questa espressione ricavo l'equazione della carica del condensatore:

Q(t) = fC . (1-e-t/RC ) = fC . (1-e-t/τ )

dove τ è la costante di tempo.

Dividendo per C l'espressione di Q(t) ottengo l'equazione del potenziale:

V(t) = f . (1-e-t/τ ) ; l'equazione della corrente è invece:

i(t) = dQ/dt = f/R . e-t/τ.

 

fig.2
fig.2

Nella fig.2 è rappresentata la variazione col tempo della tensione e della corrente.

Si nota che già per un tempo pari a 5τ la tensione raggiunge quasi il valore massimo (f) e la corrente il valore minimo (0).

L'energia accumulata dal condensatore è pari a :

Uc(t) = Q(t)2/2C = f2C/2 . ( 1-e-t/RC )2 ; per t = ∞ Uc( ∞ ) = f2C/2; l'energia dissipata dalla resistenza R è:

Ud(t) = ∫0t R. I(t)2dt = R ∫0t f2/R2e-2t/RCdt = f2C/2(1-e-2t/RC );

per t = ∞ Ud( ∞ ) = f2C/2

le due energie sono uguali, questo ci dice che l'energia fornita dal generatore è:

Ug(t) = ∫0t f.dQ = ∫0t fi(t) dt = f2C(1-e-t/RC) ; pertanto

per t =∞ ; Ug( ∞ ) = f2C.

 

scarica di un condensatore

fig.3
fig.3

In figura 3 è rappresentato un circuito costituito  un condensatore C, una resistenza R ed un interrutore T.

Supponiamo che il circuito sia aperto ed il condensatore carico; quando chiudiamo il circuito agendo sull'interrutore inizia a circolare la corrente ed il condensatore inizia a scaricarsi.

all'inizio (t=0) abbiamo V(t=0)=V0e Q(t=0)=CV0 .

Alla chiusura del circuito avrò : Vc(t)= Q(t)/C ed anche Vr (tensione ai capi di R) =i(t)R.

Nel circuito chiuso ho:

Q(t)/C = i(t)R             e, poichè i(t) = -dQ/dt  ( il segno meno deriva dal fatto che quando il condensatore si sta scaricando risulta dQ/dt <0  e  i(t) >0), 

ho   quindi :

Q(t)/C + R . dQ/dt = 0 , da cui:

dt/RC = - dQ/Q(t).

Integrando l'equazione differenziale ho:

 ∫ QQ0  dQ(t)/Q(t) = -1/RC ∫0 tdt ;

 

fig.4
fig.4

risolvendo abbiamo:

 lnQ(t) - Q0 = -t/RC da cui

Q(t) = Qe -t/RC.

 Poichè Vc(t)=Q(t)/C avrò che la tensione è pari a:

V(t)=V0 e -t/RC  e che la corrente i(t) è:

 i(t) = V0/R . e -t/RC

 L'energia del condensatore per t=0 è pari a  Q02/2C, l'energia dissipata dalla resistenza R è:

 ∫ 0  Ri(t)2dt = Q02/2C.

L'energia iniziale del condensatore è uguale all'energia dissipata alla fine del processo; cioè tutta l'energia del condensatore viene dissipata per effetto joule.

Carica e scarica di un induttore

fig.5
fig.5

Consideriamo la fig.5 (A)  nel momento in cui chiudo il circuito , se non ci fosse ll'induttore la corrente raggiungerebbe istantaneamente il valore E/R, poichè  nel circuito , in serie alla resistenza c'è anche l'induttore la corrente cresce gradualmente fino a raggiungere, in un tempo infinito,  il valore E/R (come si nota in fig. 5(A), In realta già dopo un tempo pari a  4 ...5 T (costante di tempo) la corrente raggiunge un valore molto vicino ad E/R. La corrente non raggiunge istantaneamente il valore mazzimo poichè nell'induttore nel momento in cui chiudo il circuito nasce una tensione indotta ( -Ldi/dt ) che si oppone alla crescita della corrente.

Vediamo ora la fig,5(B) dove abbiamo eliminato il generatore di tensione E dopo che la corrente ha raggiunto circa il valore E/R (dopo  un tempo pari a circa 5 t) .

La corrente non cessa istantaneamente ma si riduce seguendo la legga riportata in fig.5. Il motivo è dovuto sempre alla nascita di una tensione indotta che si oppone alla diminuzione istantanea della corrente ,

In fig 5 sono riportati i calcoli per la determinazione delle leggi di crescita (carica dell'induttore)  e di riduzione (scarica dell'induttore) della corrente.