Circuito RLC

  Consideriamo il circuito di fig.1a costituito da un generatore di tensione alternata  e da un resistore.

L'espressione della corrente è: I=Imax.senωt  ed ha l'andamento indicato in fig.1b; quella della tensione è per la legge di Ohm:

V=R.Imax.senωt ed ha l'andamento di fig.1c.

In queste espressioni Imax è pari a  Ieff.radq(2).

La tensione e la corrente sono in fase come si evince dall'espressione analitica e si osserva in fig.1.

 

 

 

fig.1 fig.1

Consideriamo il circuito di fig.2a costituito da un generatore di tensione alternata e da una bobina (induttanza).

L'espressione della corrente è:

I=Ieff.radq(2).senωt ed ha l'andamento indicato in fig.2b.

L'espressione della tensione è:

V=L.dI/dt = L.Ieff.radq(2).ω.cosωt.

Sapendo che cosωt = sen(ωt+π/2) l'espressione della tensione diventa:

V=L.Ieff.radq(2).ω.sen(ωt+π/2).

Ponendo Veff=L.Ieff.ω l'espressione di V diventa:

V=Veff.radq(2).sen(ωt+π/2).

Confrontando l'espressione di V ottenuta con quella di I ci accorgiamo che la tensione è in anticipo rispetto alla corrente come si osserva anche nella fig.2c

fig.2 fig.2

Consideriamo ora il circuito di fig.3a costituito da un generatore di tensione alternata e da un condensatore (capacità).

L'espressione della tensione è:

V=Veff .radq(2).senωt ed ha l'andamento indicato in fig.3b.

L'espressione della corrente è:

I=dq/dt; poichè q=CV ; I diventa uguale a:

I=CdV/dt=C.Veff.radq(2).ω.cosωt.

ponendo cosωt=sen(ωt+π/2)  e C.ω.Veff=Ieff si ottiene:

I=Ieff.radq(2).sen(ωt+π/2).

Confrontando l'espressione di I ottenuta con l'espressione di V ci accorgiamo che la tensione è in ritardo di π/2 rispetto alla corrente come si osserva anche nella fig.3c.

 

fig.3 fig.3

circuito RLC serie

Consideriamo ora (fig.4)  un circuito costituito da un resistore, una bobina (induttanza) ed da un condensatore (capacità)  alimentati in SERIE da un generatore di tensione alternata.

fig.4 fig.4

Risulta:

V=radq((VL-VC)2+VR2); Poichè da quanto precede risulta che  VL=I.ω.L e che VC=I/ω.C con semplici passaggi otteniamo:

V=I.radq((L.ω-1/ω.C)2+R2).

L'espressione :

radq((L.ω-1/ω.C)2+R2),  rappresenta l'impedenza Z  del circuito.

φ  è l'angolo di fase (sfasamento fra tensione e corrente).

fig.5 fig.5

Se rappresentiamo l'impedenza Z e l'angolo di fase  φ  in funzione della frequenza otteniamo il diagramma di fig.5.

Per frequenze prossime a zero (corrente continua) il circuito è prevalentemente capacitivo , aumentando la frequenza fino al punto in cui XC=XL (risonanza) il circuito risulta puramente  resistivo , infatti  la capacità e l'induttanza si elidono a vicenda; aumentando ancora la frequenza  il circuito diviene prevalentemente induttivo.

Nella fig. 5 è pure rappresentata la corrente che risulta massima in corrispondenza della frequenza di risonanza quando l'impedenza è minima.

La rappresentazione della corrente ci permettere di definire il concetto di selettività, cioè la caratteristica del circuito di farsi attraversare con facilità dalla corrente in condizioni di risonanza e di attenuare invece la corrente man mano che ci si allontana da tale condizione.

Nella rappresentazione della corrente di fig.5 abbiamo indicato il valore I0/radq(2) che è il valore di attenuazione per convenzione sopportabile; o meglio è il livello oltre il quale non ci si accorge della attenuazione; esso è pari al 70,71% del livello massimo ed anche pari ad una attenuazione di -3db ; infatti 20 x log10(1/radq(2)) è pari a -3.

a questa attenuazione corrispondono 2 valori di f: f1 ed f2 ; f1-f2 è pari alla larghezza di banda passante B.

circuito RLC parallelo

Consideriamo ora (fig.6) un circuito costituito da un resistore, una bobina (induttanza) e da un condensatore (capacità) alimentati in PARALLELO da un generatore di tensione alternata.

fig.6 fig.6

 

Risulta:

I=radq((IC-IL)2+IR2); Poichè sappiamo che IL=V/ω.L, che IC=V.ω.C e che IR=V/R, con semplici passaggi otteniamo:

I=V.radq((ω.C-1/ω.L)2+1/R2); da questa espressione si ricava l'Impedenza del circuito:

Z= 1/radq(1/R2 + (ω.C - 1/ω.L)2 );

φ  è l'angolo di fase (sfasamento fra tensione e corrente).

fig.7 fig.7

 

Se rappresentiamo l'impedenza Z e l'angolo di fase  φ  in funzione della frequenza otteniamo il diagramma di fig.7.

Per frequenze prossime a zero (corrente continua) il circuito è prevalentemente Induttivo  , aumentando la frequenza fino al punto in cui XC=XL (risonanza) il circuito risulta puramente  resistivo , infatti  la capacità e l'induttanza si elidono a vicenda; aumentando ancora la frequenza  il circuito diviene prevalentemente capacitivo.

Nella fig. 7 è pure rappresentata la tensione che risulta massima in corrispondenza della frequenza di risonanza quando l'impedenza è massima.

La rappresentazione della tensione ci permettere di definire il concetto di selettività, cioè la caratteristica del circuito di mantenere ai suoi capi una tensione elevata in condizioni di risonanza e di attenuare invece la tensione man mano che ci si allontana da tale condizione.

Nella rappresentazione della tensione di fig.7 abbiamo indicato il valorre V0/radq(2) che è il valore di attenuazione per convenzione sopportabile; o meglio è il livello oltre il quale non ci si accorge della attenuazione; esso è pari al 70,71% del livello massimo ed anche pari ad una attenuazione di -3db ; infatti 20 x log10(1/radq(2)) è pari a -3.

a questa attenuazione corrispondono 2 valori di f: f1 ed f2 ; f1-f2 è pari alla larghezza di banda passante B.